Bipolaron and Multipolaron States in Magnetic Fields
Final Report Abstract
Die Wechselwirkung der Elektronen eines polaren Kristalls mit quantisierten Gitterschwingungen (Phononen) führt zu Bindungszuständen von Elektronen mit Phononen, so genannten Polaronen. Überdies vermittelt die Elektron-Phonon-Wechselwirkung eine anziehende Kraft zwischen Polaronen, welche zur Coulombabstossung in Konkurrenz steht. Ob diese Anziehung die Abstossung zu dominieren vermag, hängt von den Parametern des Kristalls ab. Im physikalisch wichtigen und nicht-perturbativen Fall starker Elektron-Phonon-Kopplung ist, innerhalb des Fröhlich-Modells, gut verstanden, dass die Anziehung stark genug sein kann um gebundene Zustande von zwei Polaronen, sogenannte Bipolaronen, zu produzieren. Es ist auch klar, dass das ein Phänomen quantenmechanischer Korrelationen ist, da die elektrostatischen Kräfte zwischen zwei Elektronen eines Kristalls überwiegend repulsiv sind. Dieses Projekt hat gezeigt, dass jede beliebige Zahl von N ≥ 2 Polaronen einen Bindungszustand eingehen können für geeignete Werte der Kristallparameter. Dieses Phänomen beibt auch bestehen, wenn ein starkes Magnetfeld angelegt wird. Auf mathematischer Ebene beziehen sich diese Aussagen sowohl auf das Fröhlich-Model, sowie auf das effektive, nichtlineare Model von Pekar und Tomasevich. Der Beweis beruht auf einer detaillierten Konvergenzabschätzung für die Differenz der Grundzustandenergieen beider Modelle, sowie auf dem Beweis der Bindung im Model von Pekar und Tomasevich. Für letzteres fanden wir ein elegantes und sehr einfaches Variationsargument. Der Konvergenzbeweis basiert auf neuen Methoden die im Jahr 2011 an der Princeton University, also kurz vor Beginn dieses Projekts entwickelt wurden. Wenn das Elektron in Modell von Fröhlich durch ein klassisches Punktteilchen ersetzt wird, dann lasst sich der Propagator des Systems explizit berechnen. Das beruht auf einen Darstellungsformel für Propagatoren, welche in der physikalischen Literatur schon lange bekannt ist, jedoch erst im Rahmen dieses Projekts mit mathematischer Präzision formuliert und für eine große Klasse nicht-autonomer Schrödingergleichungen etabliert wurde.
Publications
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- The ground state energy of the multi-polaron in the strong coupling limit. Lett. Math. Phys., 103(12):1347– 1366, 2013
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Ioannis Anapolitanos and Marcel Griesemer
(See online at https://doi.org/10.1007/s00023-013-0266-4) - Remainder estimates for the long range behavior of the van der waals interaction energy
Ioannis Anapolitanos
- Well-posedness of non-autonomous linear evolution equations for generators whose commutators are scalar
Jochen Schmid
- Well-posedness of non-autonomous linear evolution equations in uniformly convex spaces
Jochen Schmid and Marcel Griesemer
