The spectrum of Laplace operators and finite approximations of infinite groups

• Applicant: Professor Dr. Roman Sauer
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2011 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 207558863

• Final Report Year: 2015

Final Report Abstract

Die aus dem Spektrum der Laplace-Operatoren von universellen Überlagerungen gebildeten L2-Invarianten sind Gegenstand vieler Fragen, die gleichermaßen Analysis, Gruppentheorie und Topologie betreffen. Unser Ausgangspunkt ist der Approximationssatz von Lück, der die L2 -Bettizahl als Grenzwert von normalisierten Bettizahlen ausdrückt. In diesem Projekt sollte die Situation untersucht werden, wenn man in Lücks Satz Bettizahlen durch Bettizahlen über einem endlichen Körper bzw. durch den Logarithmus der Größe der ganzzahligen Torsionshomologie ersetzt. Wenn die Fundamentalgruppe in eine p-adisch analytische Liegruppe einbettet, konnten wir den entsprechenden Grenzwert normalisierter Bettizahlen über Körpern beliebiger Charakteristik durch Iwasawa-Algebren ausdrücken. Dies erlaubt eine vollständig algebraische Beschreibung der L2-Bettizahlen in dieser Situation und erweitert Resultate von Calegari-Emerton. Weiter konnten wir unter differentialgeometrischen Bedingungen Abschätzungen für das asymptotische Wachstum der Torsion in der Homologie eines residuellen Turms endlicher Überlagerungen beweisen. Ein Highlight ist der Nachweis eines subexpontiellen Torsionshomologiewachstums unter der Bedingung, dass das minimale Volumen verschwindet. Wir konnten Verschwindungsresultate für die reduzierte und unreduzierte L2-Kohomologie von Gruppen erzielen. Diese Resultate beinhalten auch Gegenbeispiele zu einer modifizierten zero-in-the-spectrum Vermutung für Gruppen, die vom Typ F∞ sind. Davon ausgehend wurden interessante F∞-Endlichkeitssätze für neue Klassen von Thompson-ähnlichen Gruppen erzielt, die über den Projektantrag hinausweisen.

Publications

• l2 -invisibility and a class of local similarity groups, Compos. Math. 150 (2014), no. 10, 1742–1754
  R. Sauer and W. Thumann
  (See online at https://doi.org/10.1112/S0010437X14007313)
• On the cohomology of weakly almost periodic group representations, J. Topol. Anal. 6 (2014), no. 2, 153–165
  U. Bader, C. Rosendal, and R. Sauer
  (See online at https://doi.org/10.1142/S1793525314500125)
• On the growth of Betti numbers in p-adic analytic towers, Groups Geom. Dyn. 8 (2014), no. 2, 311–329
  N. Bergeron, P. Linnell, W. Lück, and R. Sauer
  (See online at https://doi.org/10.4171/GGD/227)
• Operad groups and their finiteness properties (2014)
  W. Thumann
  
• Volume and homology growth of aspherical manifolds. Geom. Topol. (2014)
  R. Sauer
  
• Weak notions of normality and vanishing up to rank in L2 -cohomology, Int. Math. Res. Not. IMRN 12 (2014), 3177–3189
  U. Bader, A. Furman, and R. Sauer
  (See online at https://doi.org/10.1093/imrn/rnt029)
• Operad groups (2015). Dissertation
  W. Thumann