Rationale Ehrhart Quasipolynome

• Applicant: Professor Dr. Martin Henk
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2011 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 198453959

• Final Report Year: 2015

Final Report Abstract

Wir konnten zeigen, dass die Koeffizienten von rationalen Ehrhart Quasipolynomen von Minkowski-Summen rationaler Polytope durch eine einfache partielle Differentialgleichung miteinander verbunden sind. Die Konsequenzen aus diesem Zusammenhang, auch für algorithmische Fragestellungen, bedürfen weiterer Untersuchungen. Bei der Beschäftigung mit den Nullstellen von Ehrhart-Polynomen sind wir überraschenderweise auf einen Zusammenhang unserer diskret motivierten Untersuchungen zu einem zentralen Problem, dem sogenannten Lp-Minkowski Problem, in der modernen Konvexgeometrie (oder auch geometrischen Analysis) gestoßen. Von besonderem Interesse ist der Grenzfall p = 0 und das zugehörige logarithmische Minkowski-Problem. Außerdem konnten wir eine notwendige Charakterisierung des damit verbundenen Kegelvolumen-Maßes konvexer Körper von der Menge der o-symmetrischen konvexen Körper auf die Menge der konvexen Körper mit Schwerpunkt im Ursprung ausdehnen. Dies führte dann auch zu einem Beweis einer weiteren Vermutung in der Konvexgeometrie, die sich mit dem sogenannten U-Funktional beschäftigt. Eine mehr "diskrete" Konsequenz dieser Untersuchungen ist eine Abschätzung für den zweiten führenden Koeffizienten des Ehrhart-Polynoms eines ganzzahligen Polytops mit Hilfe der sukzessiven Minima des Differenzenpolytops.

Publications

• Integer points in knapsack polytopes and s-covering radius, Electron. J. Combin. 20 (2013), no. 2, Paper 42, 17 pp.
  Iskander Aliev, Martin Henk und Eva Linke
  
• Cone volume measure of polytopes, Adv. Math. 253 (2014), 50–62
  Martin Henk, Eva Linke
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.11.015)
• On extensions of Minkowski’s theorem on successive minima (PDF, 18 S.), Tue, 20 May 2014
  Martin Henk, Matthias Henze und Maria Hernandez Cifre
  
• Decomposition of polytopes using inner parallel bodies, Monatsh. Math. 176 (2015), no. 4, 575–588
  Eva Linke und Eugenia Saorin Gómez
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00605-014-0629-z)
• Note on the coefficients of rational Ehrhart quasi-polynomials of Minkowski sums, Online Journal of Analytic Combinatorics (10), 2015
  Eva Linke und Martin Henk