Kohomologie Theorien in der Algebraischen Geometrie (Kristalline- und motivische Kohomologie)
Final Report Abstract
Mein Forschungsprojekt „Kohomologietheorien in der algebraischen Geometrie (kristalline- und motivische Kohomologie)" hat leider zu keinem veröffentlichbarem Ergebnis geführt. Die ursprüngliche Fragestellung, die de Rham-Witt Garben eines glatten k-Schemas, k ein vollkommener Körper der Charakteristik p > 0, mittels der Ergebnisse meiner Doktorarbeit durch eine Art motivischen Gersten Komplex zu beschreiben, hat sich als falsch erwiesen. Auch eine Abänderung der Fragestellung, nämlich die Kohomologiegarbe des de Rham-Witt Komplexes eines glatten k-Schemas mit Q-Koeffizienten durch einen Gersten Komplex motivischen Ursprungs aufzulösen, war nicht realisierbar, wie ich leider erst nach einem Jahr Arbeit festgestellt habe. Ich habe die Frage erneut abgeändert und nach einer allgemeineren Definition von motivischer Kohomologie gesucht, die auch nicht reduzierte Strukturen erkennt. Dies würde ermöglichen Tangetialräume oder Dieudonne Moduln von motivischer Kohomologie zu betrachten. Eine erste Entwicklung in diese Richtung sind die additiven Chow Gruppen von Bloch und Esnault, die auch Kern meiner Doktorarbeit waren. Die in meiner Doktorarbeit erzielten Resultate (die Verallgemeinerungen von Resultaten von Bloch und Esnault sind) legen nahe, dass es, sobald man einen Begriff davon hat, was es bedeutet den Dieudonne Modul von motivischer Kohomologie zu nehmen, auch eine Verbindung von diesem mit kristalliner Kohomologie geben könnte. Allerdings bin ich bei der Arbeit an dieser Frage auf erhebliche technische Schwierigkeiten gestoi3en, die mich schließlich dazu brachten, mich einem anderen Thema zuzuwenden. In jüngster Zeit bin ich aber auf eine alternative Beschreibung von motivischer Kohomologie gestoßen, diese wurde von Grayson definiert und stimmt für glatte Varietäten mit Voevodskys Definition über ein (wie Suslin gezeigt hat). Aber diese Definition sieht auch nicht reduzierte Strukturen. Es wird ein zukünftiges Projekt von mir sein, dies mit Hinblick auf die oben genannte Fragestellung zu untersuchen. Schließlich habe ich mich auch mit einer Frage von Esnault befasst, deren positive Beantwortung ein Kriterium für die Existenz eines rationalen Punktes gewisser eigentlicher Schemata über einem endlichen Körper lieferte. Eine positive Antwort auf diese Frage wird von der verallgemeinerten Hodge Vermutung und vorhergehender Arbeit von Esnault impliziert. Das machte eine direkte Beantwortung um so interessanter. Berthelot und Esnault haben die Beantwortung dieser Frage auf die Existenz einer Spur in der Witt-Vektor Kohomologie für generisch endliche und eigentliche Abbildungen zwischen regulären Schemata über einem diskreten Bewertungsring reduziert. An der Konstruktion einer solchen Spur arbeite ich zur Zeit.
