Zusatzstrukturen auf En-Kohomologie
Final Report Abstract
Iterierte Schleifenräume sind wichtige Bausteine der Homotopietheorie. Algebraische Analoga sind En-Algebren. Der einfachste und bereits gut untersuchte Fall sind A∞-Algebren; dies sind E1-Algebren. Hierbei handelt es sich um Kettenkomplexe mit einer Multiplikation, die assoziativ ist bis auf höhere Homotopien. Im Projekt haben wir En-Algebren für n ≥ 2 untersucht. Dies sind Algebren, die höhere Homotopien für Kommutativität beinhalten. Ein wichtiges Beispiel sind Koketten für Hochschild-Kohomologie: Die bewiesene Deligne-Vermutung besagt, dass diese Kokettenkomplexe E2-Strukturen tragen. Um En-Algebren voneinander unterscheiden zu können, kann man algebraische Invarianten konstruieren: Zum Beispiel ist (abstrakt über die Operadenstruktur definierte) En-(Ko-)Homologie eine zu En-Algebren passende (Ko-)Homologietheorie. Die Ergebnisse des Projekts umfassen neue Beschreibungen für En-Homologie und En-Kohomologie mit nicht-trivialen Koeffizienten. Zum einen gelang eine Beschreibung über einen getwisteten iterierten Bar-Komplex und zum anderen über Funktor(ko)homologie. In der Funktor(ko)homologie-Beschreibung modelliert man die kombinatorische Komplexität der getwisteten iterierten Bar-Konstruktion, indem man eine geeignete Diagrammkategorie definiert. Im vorliegenden Fall sind die Objekte der Diagrammkategorie gegeben durch Bäume mit n Schichten. Jede Schicht entspricht einer Bar-Konstruktion und die Morphismen in der Kategorie modellieren die verschiedenen Differentiale in der iterierten Bar-Konstruktion. Beide Zugänge, der über einen getwisteten höheren Bar-Komplex und der über Funktorhomologie, erlauben, Berechnungen durchzuführen, indem man die Kombinatorik der Modelle ausnutzt, um Spektralsequenzen zu konstruieren. Es gelang eine Identifizierung von En-Homologie kommutativer Algebren mit der von Pirashvili definierten höheren Hochschild Homologie. Diese Ergebnisse waren für kommutative augmentierte Algebren mit Koeffizienten im Grundring bekannt. Die Erweiterung auf beliebige Koeffizienten ist ein deutlicher Fortschritt. Wir hatten erwartet, dass die Beschreibung über den getwisteten Bar-Komplex und als Funktor-Kohomologie Erkenntnisse über Kohomologieoperationen liefern. Diese Hoffnung hat sich nicht bestätigt: Frau Ziegenhagen konnte zeigen, dass die Yoneda-Algebra für En-Kohomologie trivial ist. Es sind weiterhin unerwartete Schwierigkeiten bei der Definition höherer Cup-Produkte aufgetreten, so dass bisher nur das Cup-1-Produkt in Charakteristik zwei verstanden ist. Parallel zu dieser Arbeit an der Verallgemeinerung der Koeffizienten, haben Frau Ziegenhagen und die Antragstellerin Mechanismen für die Bestimmung von En-Homologie im Fall augmentierter kommutativer Algebren entwickelt. Wir haben Spektralsequenzen für diese Berechnungen konstruiert, indem wir die algebraische Struktur einer höheren Gerstenhaber-Algebra auf der Homologie einer En -Algebra zerlegt haben in ihren Lie-Bestandteil und die kommutative Multiplikation, und wir haben diese Spektralsequenzen in konkreten Beispielen angewandt: Wir konnten En-Homologie für freie graduiert-kommutative Algebren in Charakteristik null für alle n und in Charakteristik zwei für n = 2 vollständig bestimmen und in einigen wichtigen Fällen die E2-Homologie von Hochschild-Koketten berechnen. Strukturelle Ergebnisse umfassen eine Interpretation der Summanden in Pirashvilis Hodge-Zerlegung höherer Hochschild Homologie in Charakteristik null als Homologie höherer Gerstenhaber-Algebren.
Publications
- A spectral sequence for the homology of a finite algebraic delooping, Journal of K-theory 13, issue 03, 2014, 563–599
Birgit Richter, Stephanie Ziegenhagen
(See online at https://doi.org/10.1017/is014004016jkt264) - En-cohomology as functor cohomology and additional structures, Hamburg, Dissertation
Stephanie Ziegenhagen
- En-cohomology with coefficients as functor cohomology, preprint 2014
Stephanie Ziegenhagen
(See online at https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.2981) - Iterated bar complexes and En -homology with coefficients, Jounal of Pure and Applied Algebra
Benoit Fresse, Stephanie Ziegenhagen
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.07.012)
