Langzeitdynamik der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung
Final Report Abstract
Ziel des Projekts war die Untersuchung der stochastischen partiellen Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichungen, wobei das auftretende stochastische Stratonovich-lntegral Temperatureffekte erfasst, die eine zufällige Bewegung der magnetischen Spins des Ferromagneten bewirken. Diese Spins ändern ihre Länge während dieser Dynamik nicht. Die wesentlichen im Antrag formulierten Projektziele konnten erreicht werden. Die Unterpunkte A und B des Projekts befassten sich mit endlichen Spin-Ensembles und analytischen bzw. numerischen Fragestetlungen. Es konnte mithilfe der Methode von Meyn und Tweedy gezeigt werden, dass das System exponentiell ergodisch ist, wobei das Gleichgewicht eine Boltzmann-Verteilung ist. Diese Resultate konnten mit einer anderen Methode dahingehend erweitert werden, dass Ratenkonvergenz gegen Gleichgewichts-Zustände gezeigt werden konnte. Für unterschiedliche numerische Diskretisierungen konnte mithilfe eines allgemeinen Resultats von Shardlow & Stuart diskrete Ergodizilät nachgewiesen werden. Schließlich konnte über den Antrag hinausgehend bei einer Penalisierung der Sphärenbedingung die Notwendigkeit einer adäquaten Modifikation auch des Rauschterms gezeigt werden. Parallel hierzu wurden unendliche Spinsysteme betrachtet (SPDE). Es stellte sich heraus, dass korrespondierende Resultate deutlich schwieriger zu erzielen sind, was auch intensive Gespräche mit Kollegen auf mehreren internationalen Konferenzen zur Theorie von SPDEs gezeigt haben. Daher haben wir uns hier auf die raumzeitliche Diskretisierung der SPDE konzentriert, zusammen mit einer Approximation des treibenden Wienerprozesses ,farbiges Rauschen im Ort' durch einen ,random walk' und Konvergenz gegen eine schwache Martingal-Lösung gezeigt. Numerische Langzeitsimulationen motivieren wiederum die Relevanz weißen Rauschens gegenüber farbigem Rauschen (im Ort), um physikalisch relevante Gleichgewichtszustände zu erreichen. Nach eigener Einschätzung war das Projekt sehr erfolgreich. Das Problem aus dem Ferromagnetismus besitzt einen physikalisch relevanten Rauschterm, was natürlich die im Projekt gestellten Fragen aufwirft. Die numerischen Konzepte sowie die im Projektrahmen entwickelten Methoden der Konvergenzanalyse lassen sich auf allgemeine nichtlineare SPDEs anwenden.
Publications
- 'A convergent finite-element based discretization of the stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert equation', IMA Journal of Numerical Analysis, (online)
L. Banas. Z. Brzezniak, M. Neklyudov, A. Prohl
- 'Stochastic ferromagnelism - Analysis and Numerics', de Gruyter Studies in Mathematics 58, de Gruyter (Dezember 2013)
L. Banas, Z. Brzezniak, M. Neklyudov. A. Prohl
- The role of noise in finite ensembles of nanomagnetic particles. Arch. Rational Mech. Anal. 210. pp. 499 - 534 (2013)
M. Neklyudov, A. Prohl
(See online at https://doi.org/10.1007/s00205-013-0654-4)
