Parametrische Ordnungsreduktion durch Interpolation

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Boris Lohmann
• Fachliche Zuordnung: Automatisierungstechnik, Mechatronik, Regelungssysteme, Intelligente Technische Systeme, Robotik
• Förderung: Förderung von 2011 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 191319493

• Erstellungsjahr: 2015

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Moderne Anwendungen im Ingenieurswesen stellen hohe Anforderungen an die Genauigkeit mathematischer Modelle. Um diese erfüllen zu können, entstehen z.B. bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen mittels der Finite Elemente Methode Gleichungssysteme aus Tausenden oder Millionen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Bezüglich Rechenzeit und Speicherbedarf stoßen auch moderne Rechensysteme schnell an ihre Grenzen, wenn diese Modelle zur Simulation, Optimierung oder Reglerauslegung verwendet werden. Abhilfe schaffen in diesem Fall Verfahren der Modellordnungsreduktion, indem sie das dynamische Übertragungsverhalten des Originalmodells durch ein deutlich kleineres System approximieren. In den letzten Jahren ist die parametrische Modellreduktion in den Fokus der Forschung gerückt. Dabei werden parameterabhängige Systeme derart reduziert, dass die Parameter des Modells als offene Variablen ins reduzierte Modell übernommen werden. Somit entfällt die Notwendigkeit, für verschiedene Parameterwerte eine neue Reduktion durchzuführen, was z.B. den Prozess einer Designoptimierung deutlich verkürzt. Im Rahmen dieses Forschungsvorhabens ist eine Methode der parametrischen Modellreduktion, die auf der Interpolation reduzierter Systemmatrizen an Gitterpunkten basiert, betrachtet worden. Dabei wurden erstens von der grundsätzlichen Idee ausgehend die aufgetretenen Fragestellungen theoretisch fundiert gelöst. Zweitens wurde daraus eine automatisierte Methode entwickelt, die auch ein Anwender ohne Hintergrund in der Modellreduktion anwenden kann, und drittens wurden Anwendungsbeispiele in Simulation und Regelung aufgezeigt. Im Detail wurde zunächst ein Baukastensystem entwickelt, welches das Vorgehen in mehrere Schritte gliedert und für jeden Schritt die möglichen Freiheitsgrade aufzeigt. Durch den Einsatz der Dünngitterinterpolation konnte das Verfahren auch auf einen hochdimensionalen Parameterraum erweitert werden. Zudem wurde eine Black-Box Methode entwickelt, welche die optimale Wahl der Interpolationsmethode und die Wahl der optimalen Gitterpunkte zu einem automatisierten Verfahren kombiniert. Für die Güte des reduzierten Modells wurde ein Schätzer entwickelt, der als Abbruchkriterium der Gitterverfeinerung genutzt wird. Die Black-Box Methode basiert dabei auf einem neuartigen Fehlerindikator. Weiterhin wurde eine Methode hervorgebracht, die stabil interpolierte Systeme sicherstellt und auf der Lösung eines konvexen Optimierungsproblems basiert. Des Weiteren wurde ein Verfahren entworfen, welches lokal reduzierte Systeme mit unterschiedlicher Ordnung interpolieren kann. Die Eignung der entwickelten Methoden für ingenieurtechnische Anwendungen konnte anhand zahlreicher technischer Beispielsysteme nachgewiesen werden. Verfahren der parametrischen Modellreduktion haben in den letzten Jahren große Aufmerksamkeit erfahren und finden auch in der Industrie zunehmend Anwendung. Da moderne Entwurfsverfahren immer höhere Anforderungen hinsichtlich Genauigkeit aufweisen, ist davon auszugehen, dass sich dieser Trend fortsetzen wird. Um dem Anwender den Einsatz der parametrischen Modellreduktion zu erleichtern, müssen automatisierte Verfahren entwickelt werden. Die im Rahmen dieses Forschungsprojektes entwickelte Black-Box Methode stellt ein derartiges Verfahren für lineare, parameterveränderliche Systeme dar. Zudem wurde dessen Eignung für Simulation und Regelung hochdimensionaler Systeme z.B. aus dem Bereich des Maschinenbaus oder der Mechatronik im Rahmen des Forschungsprojektes belegt und kann in Zukunft auch im industriellen Kontext weiter untersucht werden. In künftigen Arbeiten könnte diese Methode zudem auf nichtlineare, parameterveränderliche Systeme erweitert werden.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• An Approach for Stability-Preserving Model Order Reduction for Switched Linear Systems Based on Individual Subspaces,“ In: Methoden und Anwendungen der Regelungstechnik. Erlangen-Münchener Workshops 2011 und 2012, B. Lohmann and G. Roppenecker (ed.), pp. 1 - 16, Shaker-Verlag, 2013
  M. Geuß, K. Diepold
  
• „On Parametric Model Order Reduction by Matrix Interpolation,“ In: Proc. European Control Conf., 2013
  M. Geuß, H. Panzer, B. Lohmann
  
• „Control of Parameter-dependent High-order Systems using Parametric Model Reduction,“ In: at-Automatisierungstechnik, vol. 62, no. 7, pp. 523–533, 2014
  M. Geuß, C. Choi, B. Lohmann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1515/auto-2014-1096)
• „Parametric Model Order Reduction by Sparse-Grid-Based Interpolation on Matrix Manifolds for Multidimensional Parameter Spaces,“ In: Proc. European Control Conf., 2014
  M. Geuß, D. Butnaru, B. Peherstorfer, B. Lohmann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1109/ECC.2014.6862414)
• „Parametric Model Order Reduction Using Pseudoinverses for the Matrix Interpolation of Differently Sized Reduced Models,“ In: Proc. of the 19th IFAC World Congress, 2014
  M. Geuß, H. Panzer, I. Clifford, B. Lohmann
  
• „Stability Preservation for Parametric Model Order Reduction by Matrix Interpolation,“ In: Proc. European Control Conf., 2014
  M. Geuß, H. Panzer, T. Wolf, B. Lohmann
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1109/ECC.2014.6862414)
• „A Black-Box Method for Parametric Model Order Reduction based on Matrix Interpolation with Application to Simulation and Control,“ Dissertation, TU München, 2015
  M. Geuß
  
• „A Black-Box Method for Parametric Model Reduction,“ MATHMOD 2015
  M. Geuß, B. Lohmann, B. Peherstorfer, K. Willcox