p-adic regulators and special values of L-functions
Final Report Abstract
Dieses Projekt beschäftigte sich mit verschiedenen strukturellen Fragen zu Karoubis relativem Cherncharakter in seinen verschiedenen Versionen. Insbesondere sollte das Verhalten in Türmen und der Zusammenhang mit Logarithmusabbildungen und Coleman-Reihen untersucht werden. Hierzu wurden einige grundsätzliche technische Fragen, wie etwa das Verhalten des relativen Cherncharakters bzgl. Normabbildungen oder die Definition topologischer und relativer K-Theorie für glatte Schemata über p-adischen Zahlkörpern geklärt. Letztere führte zu einer neuen Konstruktion des relativen Cherncharakters, welche deutlich formaler als die ursprüngliche ist. Sie ähnelt Beilinsons bzw. Hubers Beschreibung von Cherncharakterabbildungen auf der algebraischen K-Theorie. Es ist zu hoffen, dass dies in weiteren Untersuchungen des relativen Cherncharakters Früchte trägt. Eine Anwendung, welche sprünglich nicht geplant war, ist der Vergleich des relativen Cherncharakters mit dem rigid syntomischen Regulator. Ein Korollar hieraus, was auch im Hinblick auf die ursprünglich gestellten Fragen sehr interessant ist, ist dass der relative Cherncharakter über die Bloch-Kato Exponentialabbildung direkt mit dem étalen p-adischen Regulator zusammenhängt. Damit wurde ein Theorem von Huber-Kings für den Fall des Rings der ganzen Zahlen R in einer endlichen Erweiterung von Qp auf alle glatten, projektiven R-Schemata verallgemeinert. Insbesondere hat man nun ein sehr befriedigendes Bild von relativem Cherncharakter einerseits und Regulatoren andererseits. Es bestätigt sich die Hoffnung, dass der relative Cherncharakter gewissermaßen einen universellen Zugang zu Regulatoren bietet. Dies sind die zunächst nicht erwarteten Hauptergebnisse meines Forschungsaufenthalts. Andererseits motivierten sie die Untersuchung des Zusammenhangs des relativen Cherncharakters mit dem étalen Regulator rein in Termen der generischen Faser, also insbesondere auch im Falle schlechter Reduktion. Diese Frage soll in Zukunft weiter untersucht werden. Eine Strategie wurde bereits entwickelt. Durch diese Abweichung vom ursprünglichen Plan konnten einige Fragen des Projektes nicht hinreichend untersucht, bzw. noch nicht befriedigend beantwortet werden. Sie sollen in Zukunft weiter studiert werden. Es ist davon auszugehen, dass die neu entwickelten Methoden und das nun bessere Verständnis des relativen Cherncharakters zu einer Lösung beitragen können.
Publications
- Karoubi’s relative Chern character, the rigid syntomic regulator, and the Bloch-Kato exponential map, 2011
G. Tamme
