Sparsity-constrained inversion with tomographic applications
Final Report Abstract
n diesem Kooperationsprojekt wurden mathematische Grundlagen bei der Regularisierung inverser Probleme mit Sparsity Constraints untersucht, mit besonderem Fokus auf tomographische Anwendungen. Bei einem inversen Problem versucht man, mittels indirekter Beobachtung eine Unbekannte zu rekonstruieren. Bedingt durch die Indirektheit und durch Messfehler sind die Verfahren jedoch nicht robust; es müssen sogenannte Regularisierungsverfahren angewendet werden. Für das am häufigsten eingesetzte Verfahren, die Tikhonov Regularisierung, war der Parameter , und damit der Strafterm, bislang stets als fest vorausgesetzt. Das bedeutet, dass die Sensitivität der Minimierer des Tikhonov Funktionals hinsichtlich des Parameters zuvor noch nicht analytisch untersucht wurde. Genau diese Untersuchung war Gegenstand des in Bremen bearbeiteten Teilprojektes. Dabei wurden folgendes Ziel formuliert: Bestimmung der Sensitivität der Minimierer des Tikhonov Funktionals hinsichtlich des Straftermparameters p. Dies ist deswegen von besonderem Interesse, da sich die Struktur des Strafterms von p > 1 (differenzierbar) zup = 1 entscheidend ändert, aber trotzdem in numerischen Realisierungen oft der Fall p > 1 als Ersatz für das eigentliche Problem mit p = 1 verwendet wird. Eigentlich hatten wir erwartet, dass sich dementsprechend die analytischen Eigenschaften der Minimierer beim Übergang zu p = 1 entscheidend ändern oder dass hier keine Konvergenz vorliegt. Zumindest für uns überraschend ist der Übergang jedoch – abgesehen von wenigen Spezialfällen – stetig. Dies haben wir in der ersten Publikation nachgewiesen und in der dritten Publikation verallgemeinert. Die Kooperation mit dem chinesischen Partner (Ming Jiang) hat sich in eine andere Richtung entwickelt als ursprünglich geplant. Hier haben wir die Evaluation der Verfahren zwar wie geplant auf CT-Daten durchgeführt, auf Grundlage der Promotion von Thomas Page, der von Ming Jiang und Peter Maaß gemeinsam betreut wurde, wurden jedoch Mumford-Shah Ansätze zur bi-modalen tomographischen Bildrekonstruktion analysiert. Der resultierende Artikel wurde von "Inverse Problems" als eines der Highlight Papers des Jahres ausgezeichnet.
Publications
- Norm sensitivity of sparsity regularization with respect to p. Inverse Problems, 28(10):104009, 2012
K. Kazimierski, P. Maass, R. Strehlow
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/10/104009) - Approximation of penalty terms in Tikhonov functional - theory and applications in inverse problems. Inverse Problems, 30(7):075005, 2014
R. Strehlow and K. Kazimierski
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/30/7/075005) - Regularization of the inverse medium problem: on nonstandard methods for sparse reconstruction. Dissertationsschrift, Universität Bremen, 2014
Robin Strehlow
- Regularizing properties of the Mumford-Shah functional for imaging applications. Inverse Problems, 30(3):035007, 2014. "Highlighted paper of the year 2014"
M. Jiang, P. Maass, T. Page
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/30/3/035007)
