Konstruktive Darstellungstheorie
Final Report Abstract
Eine modulare Charaktertafel einer endlichen Gruppe codiert in kompakter Form Informationen uber die irreduziblen Darstellungen der Gruppe über einem Körper positiver Charakteristik. In diesem Projekt sollten theoretische Grundlagen zur algorithmischen Berechnung modularer Charaktertafeln weiterentwickelt werden. Die neuen Methoden sollten verwendet werden, um die modularen Charaktertafeln gewisser sporadischer einfacher Gruppen zu bestimmen. Das Vorhaben ist Teil des Modularen-Atlas-Projekts einer internationalen Gruppe von Mathematikern. Auf der theoretischen Seite konnten wir wichtige Fortschritte erzielen. So ist es gelungen, die Kondensation mit Idempotenten, eine seit den 80er Jahren verwendete Methode der algorithmischen Darstellungstheorie, erheblich zu erweitern. Zum Einen wurde der Nachweis erbracht, dass das Kondensieren mit anderen als den bisher verwendeten Spuridempotenten nicht nur effizient moglich, sondern auch unerlässlich für einige Anwendungen ist. Das gleiche gilt fur das Kondensieren mit verschiedenen Idempotenten. Hier hat Herr Noeske eine Lösung fur das Matching-Problem gefunden, die es ermöglicht, mit verschiedenen Idempotenten kondensierte Moduln zu vergleichen. Während die Kondensation mit Nicht-Spuridempotenten schon früher vorgeschlagen worden war, ist die Kondensation mit verschiedenen Idempotenten eine echte Neuerung und die Lösung des Matching-Problems ein echter Durchbruch. Eine Idee aus Noeskes Dissertation, das schwierige Erzeugnisproblem der Kondensation in bestimmten Konfigurationen zu lösen, hat große Erfolge in einzelnen Anwendungen ermöglicht. Ein weiteres Verfahren, die Kondensation projektiver Moduln, wurde zwar konzipiert, aber noch nicht in großeren Anwendungen erprobt. Bei der Berechnung neuer, bisher unbekannter modularer Charaktertafeln haben wir folgende Ergebnisse erzielt. Bereits in seiner Dissertation hatte Herr Noeske die 2- und 3-modularen Charaktertafeln der Fischer- Gruppe Fi22 und ihrer sämtlichen zentralen Überlagerungsgruppen und Automorphismengruppen erhalten. Neu ist auch die 2-modulare Charaktertafel der Fischer-Gruppe Fi23 . Schließlich sind jetzt auch sämtliche modularen Charaktertafeln der Harada-Norton-Gruppe bekannt. Diese Tafeln wurden zusammen mit den Partnern Lux, Ryba und Thackray bestimmt. Ihre Berechnung wurde erst durch die von Noeske in diesem Projekt entwickelten Techniken möglich. Herr Noeske hat eine Reihe neuer Methoden der algorithmischen Darstellungstheorie entwickelt und ihre Wirksamkeit bewiesen. Neben der Berechnung neuer, bisher unbekannter modularer Charaktertafeln sehr großer sporadischer Gruppen ist dieser "Proof of Concept“ das wichtigste Ergebnis des durchgeführten Vorhabens. Weitere Anwendungen und Erweiterungen der Methoden sind nicht nur geplant, sondern auch äußerst vielversprechend. Unsere positiven Erfahrungen mit den neuen Methoden, die Analyse ihrer mathematischen Hintergründe und die intensive Beschäftigung mit substanziellen Beispielen geben begründeten Anlass zu dieser Erwartung.
Publications
- The 2-modular characo ters of the Fischer group Fi23 , J. Algebra 300 (2006), 555–570
G. Hiss, M. Neunhöffer und F. Noeske
- Tackling the generation problem in condensation, J. Algebra 309 (2007), 711–722
F. Noeske
- The 2- and 3-modular characters of the sporadic simple Fischer group Fi22 and its cover, J. Algebra 309 (2007), 723–743
F. Noeske
- Matching Simple Modules of Condensed Algebras, LMS J. Comput. Math. 11 (2008), 213–222
F. Noeske
- The 5-modular characters of the sporadic simple Harada-Norton group HN and its automorphism group HN.2, J. Algebra 319 (2008), 320-335
K. Lux, F. Noeske und A. J. E. Ryba
