Elliptische und parabolische Hindernis-Probleme mit irregulären Hindernissen
Final Report Abstract
In diesem Projekt wurden elliptische und parabolische Hindernis-Probleme für partielle Differentialoperatoren in Divergenzform vom p-Laplace Typ betrachtet. Dabei wurden unter anderem folgende Problemstellungen gelöst: (i) Entwicklung einer Calderón & Zygmund-Theorie für Lösungen elliptischer und parabolischer Hindernis-Probleme; (ii) Entwicklung einer Existenz und Calderón & Zygmund-Theorie für parabolische Hindernis-Probleme mit nicht-standard p(x; t)-Wachstum; (iii) Punktweise Potential-Abschätzungen der Lösungen in Termen des Hindernisses. Es wurden Calderón & Zygmund Abschätzungen für den räumlichen Gradienten der Lösung in Termen der Integrabilität des Hindernisses bewiesen. Genauer wurde gezeigt, dass der Gradient der Lösung genauso gut integrierbar ist wie die das Hindernis beschreibende Funktion. In diesem Zusammenhang gelang es auch, ein neues Lösungskonzept (sog. Lokalisierbare Lösungen) einzuführen und ein entsprechendes Existenzresultat zu beweisen. Der Vorteil des Konzeptes liegt darin, dass es sich (im Gegensatz zum klassischen Lösungsbegriff) um ein lokales Konzept von Lösungen handelt, dass Lokalisierungsargumente analog zu parabolischen Differentialgleichungen zulässt. Erwähnen muss man, dass dieses Konzept unter milden Voraussetzungen an den Rand des betrachteten Gebietes mit allen klassischen Konzepten übereinstimmt. In diesem Zusammenhang gelang es, das entwickelte Konzept der lokalisierbaren Lösungen auf Operatoren mit nicht-standard Wachstum zu übertragen und einen Existenzsatz zu beweisen. Darüber hinaus konnten zwei Regularitätsresultate für parabolische Hindernisprobleme mit nicht-standard p(x; t)-Wachstum etabliert werden. Insbesondere wurden Lokalisierungsmethoden entwickelt, die es nun erlauben, Regularitätsprobleme mit nicht-standard p(x; t)-Wachstum auch im parabolischen Fall zu behandeln. Es gelang, die klassischen Potentialabschätzungen der Poisson-Gleichung auf zeitunabhängige und zeitabhängige nicht-lineare Hindernisprobleme zu verallgemeinern. Dabei handelt es sich um punktweise Abschätzungen der Lösung bzw. ihres Gradienten in Termen von Riesz-Potentialen der rechten Seite und des Hindernisses. Im Verlauf der Projektbearbeitung ergaben sich zwei weitere interessante Themenkomplexe: (i) Hölder-Stetigkeit des Gradienten für parabolische Hindernisprobleme vom p-Laplace Typ; (ii) Existenztheorie für Hindernisprobleme der porösen Medien Gleichung. Es wurde bewiesen, dass unter geeigneten Voraussetzungen an das Hindernis der Ortsgradient der Lösung Hölder stetig ist. Dies war zuvor nur im Fall p = 2 (d.h. lineares Wachstum der Koeffizienten) bekannt. Dabei handelt es sich um das erste Existenzresultat für das Hindernisproblem zur porösen Medien Gleichung für möglicherweise unbeschränkte Hindernisse. An das Existenzresultat schließen sich nun Fragen nach der Regularität von Lösungen an sowie Anwendungen in der Potentialtheorie.
Publications
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