Quantengeometrie: Mathematische Physik auf dem Weg zur Quantengravitation

• Applicant: Professor Dr. Christian Fleischhack
• Subject Area: Nuclear and Elementary Particle Physics, Quantum Mechanics, Relativity, Fields
• Term: from 2005 to 2014
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 17014052

• Final Report Year: 2014

Final Report Abstract

Die Vereinigung von Gravitation und Quantentheorie ist eines der wichtigsten offenen Probleme der modernen Physik. Eine Strategie, sich der Lösung dieser Aufgabe zu nähern, besteht in der Untersuchung von speziellen Situationen, die sich durch eine hohe Symmetrie auszeichnen. So wurden bereits in der klassischen Gravitation zentrale Resultate aus symmetrischen kosmologischen Modellen abgeleitet. Im Rahmen dieses Emmy-Noether-Projekts haben wir nun wichtige Erkenntnisse über die Implementation von Symmetrien in der Loop-Quantisierung gewonnen. Wir entwickelten zum einen ein allgemeines, funktorielles Verfahren, um den Quantenkonfigurationsraum einer bereits klassisch symmetrischen Theorie zu konstruieren. Andererseits konnten wir Symmetrien auch direkt auf Quantenniveau implementieren. Es stellte sich heraus, daß es in der Regel darauf ankommt, ob zunächst die Symmetrie implementiert und dann quantisiert wird oder ob umgekehrt vorgegangen wird: Reduktion und Quantisierung vertauschen also nicht. Nicht nur für diese Ergebnisse war es wichtig, die mathematischen Grundlagen der Loop-Quantengravitation besser zu verstehen. So konnten wir den Ashtekar-Zusammenhang, eine der fundamentalen Variablen der klassischen Theorie, erstmals differentialgeometrisch rigoros definieren. Zudem gelang es, invariante Zusammenhänge für beliebige Symmetrien algebraisch zu charakterisieren und eine Theorie semianalytischer Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Auf der funktionalanalytischen Seite zeigte sich, daß die kinematische Eindeutigkeit der Loop-Quantengravitation auch unter Einbeziehung von Eichtransformationen gilt. Darüber hinaus konnten neue Maße für homogen-isotrope Modelle konstruiert werden. Schließlich ermöglichten kombinatorische Methoden numerische Aussagen über das Spektrum des Volumenoperators. Die größte Uberraschung im Projekt war die Erkenntnis, daß eine der bis dahin als Stand der Technik anzusehenden Grundannahmen mathematisch unmöglich zu erfüllen war. Dies führte zu einer signifikanten Umgestaltung des ursprünglichen Projekts, wodurch der Fokus stärker auf die oben genannten Symmetrien und die allgemeinen Grundlagen der Loop-Quantisierung gelegt wurde.

Publications

• Properties of the Volume Operator in Loop Quantum Gravity I: Results. Class. Quant. Grav. 25 (2008) 065001 (32 pp.)
  Johannes Brunnemann and David Rideout
  
• Representations of the Weyl Algebra in Quantum Geometry. Commun. Math. Phys. 285 (2009) 67–140
  Christian Fleischhack
  
• Oriented Matroids – Combinatorial Structures Underlying Loop Quantum Gravity. Class. Quant. Grav. 27 (2010) 205008 (50 pp.)
  Johannes Brunnemann and David Rideout
  
• Some operator algebraic techniques in Loop Quantum Gravity (Dissertation). Universität Paderborn, 2011
  Diana Kaminski
  
• Symmetry Reduction of Loop Quantum Gravity. Class. Quant. Grav. 28 (2011) 245014 (39 pp.)
  Johannes Brunnemann and Tim A. Koslowski
  
• On Ashtekar’s Formulation of General Relativity. J. Phys. (Conf. Ser.) 360 (2012) 012022 (10 pp.)
  Christian Fleischhack
  
• On the Configuration Spaces of Homogeneous Loop Quantum Cosmology and Loop Quantum Gravity. Math. Phys. Anal. Geom. 15 (2012) 299–315
  Johannes Brunnemann and Christian Fleischhack
  
• Invariant Connections in Loop Quantum Gravity. 2013. (38 pp.)
  Maximilian Hanusch
  
• Loop Quantization and Symmetry: Configuration Spaces. 2010. (33 pp.)
  Christian Fleischhack
  
• A Characterization of Invariant Connections. SIGMA 10 (2014) 025 (24 pp.)
  Maximilian Hanusch
  (See online at https://doi.org/10.3842/SIGMA.2014.025)