Konstruktion und Analyse anisotroper polykonvexer Energiefunktionen
Final Report Abstract
In der ersten Förderperiode wurden für ausgesuchte Anisotropieklassen, die durch zweistufige Strukturtensoren beschrieben werden (trikline, monokline, rhombische und transversal isotrope Symmetrie), polykonvexe Energiefunktionen konstruiert. Die Herleitung dieser Funktionen basiert auf der Idee, einen zweistufigen, symmetrischen und positiv definiten kristallographisch motivierten Strukturtensor einzuführen. Anzumerken ist, dass die meisten Tensor-Repräsentationen die Verwendung von ein- und zweistufigen Strukturtensoren vorsehen. Für die Darstellung der tetragonalen, trigonalen und kubischen mechanisch relevanten Anisotropietypen werden jedoch vierstufige Strukturtensoren benötigt. Eine direkte Generalisierung bzgl. der Verwendung von Strukturtensoren höherer Stufe (größer zwei) als Variablen in isotropen Tensorfunktionen ist in der Literatur nicht erschöpfend behandelt. Als offene Fragestellung bleibt nun: “Are there ways of designing polyconvex stored-energy functions for tetragonal, trigonal and cubic crystal classes?“ Im Verlängerungsantrag wurde die Idee, diese Lücke basierend auf einer speziellen Zerlegung und Rekombination von verallgemeinerten ,, Strukturtensoren“ r-ter Ordnung (r > 2) zu schließen, vorgestellt. Ausgangspunkt dieses Zugangs ist die Maxwellsche Multipole-Zerlegung der zugrundeliegenden Elastizitätstensoren. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass die Eigenfunktionen der harmonischen Darstellung des Elastizitatstensors im Rahmen der Polykonvexität nicht direkt verwendbar sind. Auch Rekombinationen wie Linear-Konvex-Kombinationen der Eigenfunktionen lieferten nicht die gewünschten Ergebnisse. Die zielführende Idee war nun die Einführung von sogenannten kristallographisch motivierten vierstufigen Strukturtensoren. Basierend auf diesen Tensoren und des rechten Cauchy-Green Tensors konnten polykonvexe gemischte Invarianten konstruiert werden. Die resultierenden Energiefunktionen erfüllen a priori eine spannungsfreie Referenzkonfiguration. Die Abwärtskompatibilität der Energiefunktionen, d.h. die Anpassung der Materialtangente in der undeformierten Referenzkonfiguration an lineare Moduli realer Materialien, konnte nachgewiesen werden. Darüber hinaus bildeten die so konstruierten Invarianten eine gute Grundlage für die Formulierung volumetrisch-isochor entkoppelter Energiefunktionen. Die Anpassung an nichtlineare Kennlinien war ebenfalls erfolgreich. Geplante Forschungsaktivitäten umfassen die Diskretisierung und numerische Analyse verschiedener Gewebemorphologien. Für die Simulation eignen sich die generischen, anisotropen, polykonvexen Energiefunktionen. Die Parameter-Identifikation der Energien sollen anhand von in-silico Mikrostruktur-Analysen erfolgen. Desweitern wären rein phänomenologische (makroskopische) FE-Simulationen von Faltenbildungen basierend auf den kristallographisch motivierten Energien interessant.
Publications
- Construction of anisotropic polyconvex energies and applications to thin shells. In: Computational Materials Science 46 (2009), S. 639–641
Ebbing, V.; Balzani, D.; Schröder, J.; Neff, P.; Gruttmann, F.
- Micromechanical Modeling of Woven Fiber Composites for the Construction of Effective Anisotropic Polyconvex Energies. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 9 (2009), S. 333–334
Ebbing, V.; Schr¨ der, J.; Neff, P.; Gruttmann, F.
- On the computation of configurational forces in anisotropic hyperelastic solids. In: Steinmann, P. (Hrsg.): Proceedings of the IUTAM Symposium on Progress in the Theory and Numerics of Configurational Mechanics. Erlangen 2008, 2009, S. 261–270
Ebbing, V.; Schröder, J.; Steinmann, P.; Neff, P.
- Polyconvex energies for trigonal, tetragonal and cubic symmetry groups. In: Hackl, K. (Hrsg.): Proceedings of the IUTAM Symposium on Variational Concepts with Applications to the Mechanics of Materials. Bochum 2008, 2009, S. 221–232
Schröder, J.; Neff, P.; Ebbing, V.
