Curvature Measures and Integral Geometry
Final Report Abstract
Das Projekt hat die Erweiterung der Theorie der geometrischen Funktionale in zwei Richtungen verfolgt. Einerseits wurden Krümmungsgrößen für allgemeinere Mengenklassen, insbesondere gewisse fraktale Mengen, studiert, wozu sich in den letzten Jahren besonders die Technik der Parallelmengenapproximation bewährt hat, andererseits wurden innerhalb des Rahmens konvexer Mengen und Mengen positiver Reichweite neue Familien von Maßen, sogenannte Fahnenmaße, untersucht, wobei insbesondere Integraldarstellungen für gemischte Funktionale, die in vielen integralgeometrischen Formeln auftauchen, sowie für approximative Varianten dieser Funktionale bewiesen wurden. In beiden Teilprojekten konnte die bestehende Theorie substantiell ausgebaut und so das Gesamtbild ergänzt werden. Volumen und Oberfläche sind Spezialfälle in der Liste der sogenannten Krümmungsmaße und der Fahnenmaße, die überdies für Parallelmengen von nicht-volldimensionalen Mengen in engem Zusammenhang stehen. Ein Ziel des ersten Teilprojekts war es, diesen Zusammenhang von Parallelvolumen und Parallelmengen-Oberfläche auch asymptotisch (wenn der Parallelradius gegen Null geht) umfassend zu verstehen, und zwar für beliebige Mengen im d-dimensionalen euklidischen Raum. Die Äquivalenz der resultierenden Grenzwerte, den Minkowski-Inhalt und den S-Inhalt, konnte nicht nur global, sondern später sogar lokal im Sinne der vagen Konvergenz von Maßen gezeigt werden. Interessante Anwendungen ergaben sich u.a. für selbstkonforme Mengen, die Wiener Wurst (Parallelmengen der Brownschen Pfade) und für die Spektralasymptotik fraktaler Strings. Für die anderen (echten) Krümmungsmaße, deren Studium technisch viel anspruchsvoller ist, sind neue Ergebnisse vor allem für gewisse Klassen von Fraktalen zu vermelden. So konnte die Existenz schwacher Grenzwerte von Krümmungsmaßen unter Parallelmengenapproximation für selbstähnliche Mengen unter wesentlich allgemeineren Bedingungen gezeigt werden als ursprünglich bekannt. Darüber hinaus führte ein alternativer Zugang über sogenannte selbstähnliche kanonische Pflasterungen zu neuen Formeln für die Berechnung fraktaler Krümmungen selbstähnlicher Mengen. Ergänzt werden diese Resultate durch neue Einsichten zu Mengen mit degeneriertem Skalierungsverhalten der Krümmungsmaße. Hier konnte eine schöne geometrische Charakterisierung solchen Verhaltens in der Ebene gegeben werden, was die geometrische Bedeutung der untersuchten Funktionale untermauert. Im zweiten Teilprojekt sind die wesentlichen Ziele erreicht worden. Es wurden Krümmungsdarstellungen sowie Fahnendarstellungen für allgemeine gemischte Volumina und allgemeine gemischte Funktionale der translativen Integralgeometrie gefunden. Damit war es unter anderem möglich, ein grundlegendes Problem der Stochastischen Geometrie zu lösen: die Bestimmung der Intensität eines stationären, nicht-isotropen Booleschen Modells Z durch spezielle mittlere gemischte Volumina von Z mit konvexen Testkörpern K, und dies in allen Dimensionen. Der Einsatz eines tiefliegenden Resultats über Bewertungen zeigt hierbei neue Zusammenhänge auf, die für die Zukunft bedeutsam sein können und weiter untersucht werden sollen. Die Methode liefert darüber hinaus weitere Mittelwertinformationen über die Formverteilung des zugrundeliegenden Poissonschen Partikelprozesses. Auch der damit in einem Zusammenhang stehende Einsatz von Fahnenmaßen in der Beschreibung von homogenen Bewertungen scheint erfolgsversprechend. Hier sind die Untersuchungen noch im Gange. Bei der Frage der Fortsetzbarkeit von Bewertungen auf Polytopen konnten mit Hilfe von Fahnenmaßen entscheidende neue Einsichten gewonnen werden. Eine Reihe von integralgeometrischen Resultaten für Oberflächenmaße, Fahnenmaße sowie für sehr allgemeine lokalisierbare Funktionale, die im Rahmen des Projekts gefunden wurden, sind einerseits von großem strukturellen Interesse, haben andererseits aber auch wichtige Konsequenzen für das Studium von Modellen der Stochastischen Geometrie. Das Konzept der Lokalisierung hat sich in beiden Teilprojekten als sehr ergiebig erwiesen und bietet eine Reihe von Perspektiven für weitere Untersuchungen.
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