Nichtkonforme Finite Elemente höherer Ordnung

• Applicants: Professor Dr. Friedhelm Schieweck; Professor Dr. Stefan Turek
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2010 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 156857737

• Final Report Year: 2014

Final Report Abstract

Bei der numerischen Simulation inkompressibler Strömungen haben nichtkonforme Finite Elemente im Vergleich zu den meist verwendeten konformen Ansätzen Effizienzvorteile hinsichtlich der entstehenden Datenstrukturen und Kopplungen von Unbekannten. Dies wird insbesondere bei deren Parallelisierung deutlich. Zu Beginn unseres Projektes wurden bei nichtkonformen Finiten Elementen in der Strömungssimulation lediglich Ansätze von niedriger Approximationsordnung eingesetzt im Gegensatz zu den konformen Elementen. Ein wichtiger erreichter Fortschritt unseres Projektes liegt in der Konstruktion und der theoretischen Analyse von nichtkonformen Finiten Elementen höherer Ordnung für die numerische Lösung der stationären und instationären skalaren Diffusions-Konvektions-Gleichungen und der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen sowie deren praktischer Implementierung in der Open Source Software Featflow einschließlich der Bereitstellung entsprechender effizienter Mehrgitter-Löser. Die entstehende Diskretisierung ist von hoher Genauigkeitsordnung und stabil hinsichtlich Gitterstörungen und hoher Reynolds-Zahlen. Ein weiterer Fortschritt besteht in der Konstruktion, Analyse und effizienten Implementierung von Galerkin-Zeitdiskretisierungen höherer Ordnung, welche ebenfalls hohe Stabilität mit hoher Genauigkeit verbinden. Dieser Galerkin-Zugang wurde bei der Strömungssimulation im internationalen Rahmen bisher kaum verfolgt, da es unklar war, wie man die entstehenden großen gekoppelten Blocksysteme effizient lösen kann. Auch hier konnten wir effiziente Mehrgitter-Löser konstruieren und somit in zahlreichen numerischen Studien sowie anhand realistischer CFD-Probleme die Qualität und numerische Effizienz dieser neuen Elementtypen zusammen mit entsprechenden Zeitdiskretisierungsverfahren höherer Ordnung nachweisen.

Publications

• Higher order Galerkin time discretizations and fast multigrid solvers for the heat equation. J. Numer. Math., 19(1):41–61, 2011
  S. Hussain, F. Schieweck, and S. Turek
  
• Higher order variational time discretizations for nonlinear systems of ordinary differential equations. Preprint der Fakultät für Mathematik, Universität Magdeburg, Nr. 23/2011
  G. Matthies, and F. Schieweck
  
• A local projection stabilization method with shock capturing and diagonal mass matrix for solving non-stationary transport dominated problems. Comput. Methods Appl. Math., 12(2):221–240, 2012
  F. Schieweck and P. Skrzypacz
  
• A note on accurate and efficient higher order Galerkin time stepping schemes for the nonstationary Stokes equations. Open Numer. Methods J., 4:35–45, 2012
  S. Hussain, F. Schieweck, and S. Turek
  
• Higher order Galerkin time discretization for nonstationary incompressible flow. Proceedings Enumath 2011 Leicester, Wiley-VCH, 509–517, 2012
  S. Hussain, F. Schieweck, and S. Turek
  
• New robust nonconforming finite elements of higher order. Appl. Numer. Math., 62(3):166–184, 2012
  M. Köster, A. Ouazzi, F. Schieweck, S. Turek, and P. Zajac
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.apnum.2011.11.005)
• An efficient and stable finite element solver of higher order in space and time for nonstationary incompressible flow. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 73(11):927–952, 2013
  S. Hussain, F. Schieweck, and S. Turek
  (See online at https://doi.org/10.1002/fld.3831)
• On a Galerkin discretization of 4th order in space and time applied to the heat equation. Int. J. Numer. Anal. Model. Ser. B, 4(4):353– 371, 2013
  S. Hussain, F. Schieweck, S. Turek, and P. Zajac
  
• A non-conforming composite quadrilateral finite element pair for feedback stabilization of the Stokes equations. J. Numer. Math., 22(3):191–220, 2014
  P. Benner, J. Saak, F. Schieweck, P. Skrzypacz, and H. K. Weichelt
  (See online at https://doi.org/10.1515/jnma-2014-0009)
• Discontinuous Galerkin method in time combined with a stabilized finite element method in space for linear first-order PDEs. HAL-Preprint, version 1
  A. Ern, and F. Schieweck
  
• Efficient Newton-multigrid solution techniques for higher order space-time Galerkin discretizations of incompressible flow. Appl. Numer. Math., 83:51–71, 2014
  S. Hussain, F. Schieweck, and S. Turek
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.apnum.2014.04.011)