Modulräume in der tropischen Geometrie
Final Report Abstract
Das Projekt stammt aus dem Gebiet der tropischen algebraischen Geometrie. Generell geht es dabei darum, mit allgemeinen Methoden Konstruktionen und Resultate der algebraischen Geometrie auf kombinatorische Probleme zurückzuführen. So werden z. B. algebraischen Varietäten Polyederkomplexe zugeordnet, die dann als die zugehörigen tropischen Varietäten bezeichnet werden. Idealerweise sollte so jedes Konzept der algebraischen Geometrie ein kombinatorisches Gegenstück in der tropischen Geometrie besitzen, mit dessen Hilfe man dann Probleme der algebraischen Geometrie unter einem ganz neuen Gesichtspunkt betrachten und hoffentlich auch bisher ungelöste Probleme mit diesen neuen Methoden untersuchen kann. Besonders erfolgreich war diese Strategie in letzter Zeit in der enumerativen Geometrie, also beim Abzählen von Kurven in gegebenen Varietäten mit bestimmten Bedingungen. Hierzu benötigt man als Varietäten Modulräume, die die betrachteten Kurven parametrisieren, und muss auf diesen schnitt-theoretische Berechnungen durchführen. In der tropischen Welt sind diese Modulräume oft Matroidfächer, das Äquivalent zu glatten Varietäten. Wir haben daher die bereits existierende tropische Schnitt-Theorie auf ein Schnittprodukt von Zykeln auf Matroidfächern erweitert. Damit können enumerative Probleme nun in vielen Fällen gut in die tropische Geometrie übersetzt werden. Darüber hinaus können Tropikalisierungen benutzt werden, um daran Eigenschaften der ursprünglichen algebraischen Varietäten (bzw. Schemata) abzulesen. Ein gravierendes Problem hierbei ist jedoch, dass die Tropikalisierung von einer Koordinatenwahl abhängt und damit nicht direkt Invarianten der Varietät liefern kann. Um dies zu verhindern, kann man Tropikalisierungen nach einer allgemeinen Koordinatentransformation betrachten. Es wird gezeigt, dass dies zu einer wohldefinierten generischen tropischen Varietät führt, an der einige Eigenschaften des Ausgangsraumes abgelesen werden können. Außerdem werden die bei dieser Konstruktion benötigten generischen Initialideale untersucht; das Ergebnis hierbei ist eine Familie von Schemata, die eine unbeschränkte Anzahl solcher generischer Initialideale besitzt. Um tropische enumerative Geometrie nicht nur auf torische Varietäten anwenden zu können, benötigt man auch Modulräume von Kurven in tropischen Varietäten, die nicht notwendig ein reeller Vektorraum sind. Dies kann man entweder über ein Verkleben von Modulräumen mit der oben beschriebenen Schnitt-Theorie tun, oder indem man das sogenannte relative Realisierbarkeitsproblem untersucht, d. h. welche tropischen Kurven wirklich Tropikalisierungen algebraischer Kurven sind. Beide Strategien haben wir mit guten Ergebnissen verfolgt. Dabei haben wir sowohl verschiedene bereits bekannte Resultate zur Realisierbarkeit mit einer einheitlichen und allgemeineren Methode erneut bewiesen und erweitert, als auch einen allgemein anwendbaren Algorithmus entwickelt und implementiert, mit dem das Realisierbarkeitsproblem für Fächerkurven in Matroidfächern immer gelöst werden kann.
Publications
- Generic tropical varieties on subvarieties and in the non-constant coefficient case, E-print
K. Schmitz
- Lower bounds for the number of generic initial ideals, E-print
J. Frels, K. Schmitz
- The diagonal of tropical matroid varieties and cycle intersections, Collectanea Mathematica 64 no. 2 (2013), 185–210, E-print
G. François, J. Rau
(See online at https://doi.org/10.1007/s13348-012-0072-1) - The realizability of curves in a tropical plane, E-print
A. Gathmann, K. Schmitz, A. L. Winstel
