Computational tropical geometry

• Applicant: Professor Dr. Thorsten Theobald
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2013
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 135066883

• Final Report Year: 2013

Final Report Abstract

Unter dem Oberbegriff tropische Geometrie haben sich in den vergangenen gut zehn Jahren mehrere Forschungsrichtungen verschiedener mathematischer Teildisziplinen zusammengefunden. In elementarer kombinatorischer Hinsicht kann die tropische Geometrie als Geometrie uber dem Semiring (R, max, +) (bzw. (R, min, +)) betrachtet werden. Tropische Hyperflächen sind polyedrische Komplexe im Euklidischen Raum. Vom algebraischen Standpunkt werden in der tropischen Geometrie komplexe torische Varietäten durch lineare Räume und komplexe algebraische Varietäten durch polyedrische Komplexe ersetzt. Die Wurzeln der tropischen Geometrie gehen insbesondere auf Bergmans logarithmische Limit Sets (in den 70er Jahren, Viros Patchworking-Methode (in den späten 70er Jahren), auf die Maslov-Dequantisierung reeller Zahlen (in den 80er Jahren) sowie die Verwendung idempotenter Halbringe in der Optimierung und Kontrolltheorie (in den 90er Jahren; "Max-Plus-Algebra“) zurück. Ausgangspunkte des Forschungsprojekts "Computational Tropical Geometry" waren jüngere Resultate zur Kombinatorik tropischer Prävarietäten und Varietäten, zur Existenz kurzer tropischer Basen sowie zu Amöben. Ziel war es, algorithmische und computerorientierte Aspekte in diesem Umfeld der tropischen Geometrie zu untersuchen und methodisch weiterzuentwickeln. Relevante Punkte hierbei waren insbesondere die kombinatorische Analyse tropischer Strukturen, die effektive Handhabung tropischer Basen sowie die Berechnung und Approximation von Amöben und ihres Gerüsts.

Publications

• Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares. Erscheint in Mathematics of Computation
  T. de Wolff, T. Theobald
  
• Separating inequalities for nonnegative polynomials that are not sums of squares
  S. Iliman, T. de Wolff
  
• Combinatorics and genus of tropical intersections and Ehrhart theory. SIAM J. Discrete Mathematics 24:17–32, 2010
  R. Steffens, T. Theobald
  
• Projections of tropical varieties and their self-intersections. Advances in Geometry 12:203–228, 2012
  K. Hept, T. Theobald
  
• Amoebas of genus at most one. Advances in Mathematics 239:190–213, 2013
  T. de Wolff, T. Theobald
  
• On the Geometry, Topology and Approximation of Amoebas. Dissertation, Goethe-Universität Frankfurt, 2013
  T. de Wolff