Mehrskalenanalyse stochastischer partieller Differentialgleichungen (SPDEs)

• Applicant: Professor Dr. Dirk Blömker
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 109815670

• Final Report Year: 2017

Final Report Abstract

Das Studium qualitativer Dynamik unendlich dimensionaler stochastischer Systeme ist ein wichtiges und aktives Forschungsfeld im Grenzbereich zwischen Analysis und Stochastik. In diesem Projekt betrachten wir Modelle, die durch stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDEs) auf unbeschränkten räumlichen Gebieten beschrieben werden. Hierbei gibt es noch eine Vielzahl offener Fragen zur qualitativen Beschreibung der Dynamik. Amplitudengleichungen oder Modulationsgleichungen können, wie im deterministischen wohl bekannt, die fehlende Zentrumsmannigfaltigkeitstheorie auf unbeschränkten Gebieten ersetzen. Dieser Ansatz basiert auf einem natürlichen Mehrskalenansatz in der Nähe eines Stabilitätswechsels, und reduziert die Komplexität der Dynamik. Ziel dieses Projektes war es, zum einen die Theorie der Amplitudengleichungen für SPDEs weiter zu entwickeln, um eine qualitative Beschreibung dynamischer Phänomene zu erhalten, die beim Wechselspiel von Rauschen und Nichtlinearität auftreten. Zum anderen wurden bei SPDEs auf unbeschränkten Gebieten modulierte periodische Muster untersucht, wozu zunächst noch die Theorie von SPDEs mit Raum-Zeit weißem Rauschen auf unbeschränktem Gebieten weiterentwickelt wurde, um Existenz- und Regularitätsresultate von Lösungen in räumlich gewichteten Holder-Räumen zu erhalten. Die Teilprojekte behandelten zunächst noch Resultate auf beschränkten Gebieten, bei denen die Amplitudengleichung eine stochastische gewöhnliche Differentialgleichung ist. Mit ähnlichen Methoden nur in einer anderen Skalierung betrachteten wir den Limes schneller Diffusion in Reaktions-Diffusionsgleichungen mit Randrauschen, bei dem das Rauschen im Limes neue effektive Reaktionsterme erzeugt. Ein weiteres Resultat behandelte ein Beispiel auf dem Ganzraum für die Stabilisierung stochastischer partieller Differentialgleichungen durch additives Rauschen, das mit nichtmonotonen Operatoren und hochgradig degeneriertem Rauschen nicht durch die bisher bekannten Resultate zur Stabilisierung abgedeckt war. Unser Resultat umfasst auch eine Skalierung in der auch eine Amplitudengleichung hergeleitet werden kann, die deterministisch ist, und bei der durch die Wechselwirkung von Rauschen und Nichtlinearitaät stabilisierende Terme entstehen. In der Theorie der Modulationsgleichungen auf dem Ganzraum mit weißem Rauschen in Raum und Zeit konnten wir einen erste Durchbruch erzielen, und ein Approximationsresultat für die stochastische Swift-Hohenberg Gleichung beweisen, bei der die Amplitudengleichung eine stochastische Ginzburg-Landau Gleichung ist. Die hierbei verwendeten Methoden scheinen jedoch das Potential zu haben, auch in allgemeineren Situationen anwendbar zu sein.

Publications

• Multi-Scale Analysis of SPDEs with Degenerate Additive Noise. Journal of Evolution Equations 14(2), 273–298, (2014)
  D. Blömker, K. Klepel, W. W. Mohammed
  
• Additive noise destroys the random attractor close to bifurcation. Nonlinearity 29(12):3934, (2016)
  L. A. Bianchi, D. Blömker, Meihua Yang
  
• Fast Diffusion Limit for Reaction-Diffusion Systems with Stochastic Neumann Boundary Conditions. SIMA, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 48(5):3547–3578, (2016)
  D. Blömker, W. W.Mohammed
  
• Fast-Diffusion Limit with Large Noise for Systems of Stochastic Reaction-Diffusion Equations Stochastic Analysis and Applications, 34(6):961–978, (2016)
  D. Blömker, W. W.Mohammed
  
• Modulation Equation for SPDEs in unbounded domains with space-time white noise – Linear Theory Stochastic Processes and their Applications 126(10):3171–3201, (2016)
  L. A. Bianchi, D. Blömker
  
• Modulation equation and SPDEs on unbounded domains. ArXive, (2017)
  L. A. Bianchi, D. Blömker, G. Schneider